九章算法比类大全
十卷。明吴敬(生卒年不详)撰。吴敬字信民，号主一翁，浙江仁和(今杭州)人。他曾几次为浙江布政使司幕府，掌管全省田赋和税收的会计工作，是为钱塘数学名家，诸官吏皆礼遇而信托之，以算题求解，使他收集到诸多实用算题，积十年之功于明景泰元年(1450)撰成《九章算法比类大全》十卷。时已年老目昏，由他人为之书录成帙，传刻行世。初版刻后毁于火，十仅存六，后又重加编校印行之。明代《九章》几无流传，仅《永乐大典》录有抄本，吴敬似无能得见《九章》原本，从杨辉《详解九章算法》等书中知晓《九章》内容。他十分推崇《九章》，认为一切应用问题都从与《九章》有关，解法均出自《九章》算法，故他编写的应用问题按《九章》章目分类。《九章算法比类大全》第一卷之前有一卷首，列举了大、小数记法，度量衡制单位及其进率，乘除算法中用字的解释，整数及分数的四则运算等项。第一卷到第九卷是一千四百多个应用问题解法汇编，分属方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈朒、方程、勾股九类。各卷最初几问为“古问”，主要摘自杨辉《详解九章算法》，亦有刘徽《海岛算经》、王孝通《缉古算经》的问题。其后是结合当时实际应用的问题称为“比类”问题，包括商品交换、合伙经营、利息计算、就物抽分(以货物作价抵偿费用)等大量商业算题，反映出明代商业资本的发展推动应用数学的发展。第十卷专论开方，包括开平方、开立方以及开高次幂，开带从平方与开带从立方。吴敬不用增乘开方法而用立成释锁法开方，利用“开方作法本源图”，仿照《九章》少广章的开方术求高次幂的正根，显然他并未了解增乘开方法的优越性。吴敬十分重视数值计算工作，在书中他还介绍了一种以前中算书未曾见过的“写算”乘法：根据相乘两数的数字位数，相应地画好方格，置两乘数于方格上方和右方，选择一个方向画上每格的对角线，每两个数字相乘的积写在相应的方格里，按十位在上、个位在下的规则写，再将斜行逐次相加就得出所求乘积的各位数。后来程大位《算法统宗》卷十七也记了这种算法，称之为“铺地锦”。这种算法在当时的印度、阿拉伯、欧洲称为“格子算法”，十分流行。在书中吴敬主要介绍筹算法，但也提到算盘。卷首乘除方起例内给出了“九归歌法”、“撞归法：谓如四归见四，本作一十，然下位无除，不进为十，以四添五，作九十，更于下位添四，其下位有四除也。又无除即于九十内除一十，欲于下位又添四，故谓之撞归，唯此法内用。”还有“归法歌”、“归除歌”。并于原书起例，河图书数注称：“不用算盘，至无差误”，又于河图书数歌诀称：“免用算盘并算子，乘除加减不为难”。清梅文鼎据此认定：“是书为钱塘吴信民作，其年月可考而知，则珠盘之来，固自不远。”为珠算在明代的广泛应用提供了佐证。吴敬的《九章算法比类大全》不仅保存和发展了古代经典数学，而且对后世数学著作起到了规范作用。在此书的影响下，许荣的《九章详注算法》(1478)、程大位《算法统宗》(1592)等书都以《九章》名义将应用题别类分卷。吴敬的此书是宋元算术总结性的著作，具有代表性意义，在国内产生较大的影响，并流传到了日本。该书主要版本是弘治元年(1488)刻本，现存于北京图书馆，北京大学图书馆；李俨曾影摄此刻本，现藏中科院自然科学史研究所。