割圆连比例图解
三卷。清董祐诚(1791－1823)撰。董祐诚字方立，江苏阳湖(今常州)人。少时工为数理舆地之学，嘉庆二十三年(1818)举人，次年于京诚友人朱鸿处觅得张豸冠抄本“杜氏九术”(实为三术，后六术明安图所得)，董祐诚“反复寻绎，究其立法之原”，撰成《割圆连比例图解》三卷。还著有《堆垛求积术》一卷(1821)，《椭圆求周术》一卷和《斜弧三边求角补术》一卷。英年早逝后，其兄基诚汇集遗稿九种十六卷于1827年刻于北京，即《董方立遗书》。董祐诚对三角函数级数展开式的研究，与明安图的方法基本一致，也是利用连比例的线段，探求全弧通弦与分弦通弦的关系，并由此得到了全弧之矢与分弧之矢的关系。《割圆连比例图解》卷上首先冠以“杜氏九术”，然后给出了他的“立法之原”四则：(1)有通弦求通弧加倍几分之通弦(凡弦之倍分皆取奇数)；(2)有矢求通弧加倍几分之矢(凡矢之倍分，奇偶通用)；(3)有通弦求几分通弧之一通弦(此亦取奇数)；(4)有矢求几分通弧之一矢(奇偶通用)。董称：“右四术为立法之原，杜氏九术由此推衍而归于简易。”为证明“立法之原”四术，董祐诚对倍矢与弦进行等分，并观察其规律列成“弦矢连比例诸率成递加数图”，并将其与三角垛联系起来考虑：“弦矢中一分与两端之一既并如递加相并数，则以递加相并数按层斜列之，倍下一列数加上一列数即可按次而得弦矢诸率。夫递加相并诸数即三角堆数也，故又以三角堆之术变之。”通过大量的计算他将九术的“立法之原”概括为：“盖即圆容十八觚之术引伸类长，求其累积，实兼差分之列衰，商功之堆垛，而会通以尽勾股之变”，从而勾通了割圆术与垛积术的联系。值得一提的是，董祐诚通过逐次等分弧已经认识到：“如是至亿万分则弦与弧合，而求弧如求弦，亦用弧如用弦，一弧之数，即众弦之合数矣。”这是一种微积分思想，他的认识要比明安图深刻。在写成《割圆连比例图解》二年后，董祐诚方得见明安图《测圆密率捷法》四卷抄本，他高度评价了明氏工作后认为“于立法之原似未尽也”。董祐诚工作高明之处正是在于揭示了九术之间的关系并作出了正确的推导。他的工作构成项名达《象数一原》的主要起点，在中算史上占有一定的地位。《割圆连比例图解》的版本有《董方立遗书》1827年董氏刊本，现藏北京图书馆；《测海山房丛刻》本；《中西算学汇通》本；《古今算学丛书》本。