四元玉鉴
三卷。元朱世杰(生卒年不详)撰。朱世杰字汉卿，号松庭，寓居燕山(北京附近)，他精通《九章》，旁通诸术，曾以数学名家周游湖海二十余年，四方来学者日众，到扬州时，踵门而学者云集，可见他是一位数学家和数学教育家，对宋元中算做了总结性工作，著有《算学启蒙》三卷(1299)，《四元玉鉴》三卷(1303)。清罗士琳认为：“汉卿在宋元间，与秦道古、李仁卿可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦、李之上。”《四元玉鉴》为论四元术和垛积术之杰作，书前有临川莫若在1303年写的序，书后还附有祖颐的后序。莫若的序文中介绍了四元术的内容：“《四元玉鉴》，其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷。”全书三卷，上卷六门七十一问，中卷十门一百零三问，下卷八门一百一十问，卷上之前有“四象细草”四问，全书共二十四门二百八十八问。在卷首有“古法七乘方图”，上书“中藏皆廉，开则横视”八个字，指图中间部分各数，是二项式展开式各项的系数，而每一横行表示开某次方时应采用的系数。全书共有高次方程组五十余题，其中在“假令四草”“或问歌彖”“两仪合辙”“左右逢元”“三才变通”“四象朝元”等六门中，有二元的高次方程三十六题，三元者十三题，四元者七题。“四元术”首先解决了四元式筹算的摆法，这是在线性摆放的天元术基础上发展成为平面摆放。更为重要的是对四元方程组的解法，书中“四象细草假令之图”中所载的两仪化元、二才运元、四象会元三题，较详细地记述了消法，其主要步骤是：“剔而消之”即互隐通分相消，通过对某元系数反复施行乘法及减法以消去该元；“互隐通分相消”是一般二元方程组的消去法；“人易天位”，即将方程组以“太”为中心施行旋转；“内外行乘积相消”即二元二行式的消去法，这是四元消去法最后一步。显然消法中进行了多元多项式的加、减、乘等运算，但朱世杰未详细记载，消元最后得到的一元高次方程的解法，也无演草，演算过程不清楚。后来清代数学家沈钦裴、罗士琳均为之详演细草。在解方程无整根时，朱世杰继续用开方法以求其小数，或“开之不尽命分”，或“连枝同体术”，如在“端匹互隐”第一问、“和分索隐”第十二、十三问均有记载。朱世杰的消法是中算史上一项杰出成就，并具有世界意义。《四元玉鉴》卷中“茭草形段”(共七题)、“如象招数”(五题)、“果垛叠藏”(二十一题)三门中所有问题都是已知各种垛积的物体总数，求垛积底层物体的个数，这是已知各种高阶等差级数总和反求其项数的问题，解决这些问题需要按照级数求和公式列出高次方程来。朱世杰利用垛积术，给出了三角垛和四角垛这两个基本系统及由此产生的岚峰垛系统和四角岚峰垛。例如茭草形段第五问给出茭草垛，第二问给出撒星形垛；果垛叠藏第一问给出三角垛，第六问给出三角撒星更落一形垛；如象招数第五问给出三角撒星形垛。这五个垛均属三角垛系统，其一个重要性质是：任取其中的相邻两垛，前一垛的和为后一垛的通项，亦即后一垛的和等于它的前(n－1)项和加上前一垛的和。在果垛叠藏第十三问朱世杰用到了杨辉的四角垛，第三问给出了四角落一形垛，这两个垛均属四角垛系统。若把三角垛公式通项乘以它的项数则得岚峰垛系统，例如茭草形段第三问给出岚峰形垛，第五问给出岚峰更落一形垛。四角垛及岚峰垛系统、四角岚峰垛的求和都可以由三角垛公式导出。在此结果上朱世杰建立了四次内插公式。如象招数最后一问自注中他附有一题并给出解法：“今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵，今招一十五方……，问招兵……几何?”他解道：“求得上差二十七、二差三十七、三差二十四、下差六。求兵者：今招为上积，又以今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积为三积，又今招减三为三角落一积为下积。以各差乘各积，四位并之，即招兵数也。”这就是等间距四次内插法，其公式与现代公式基本一致。朱世杰在招差术的突出贡献是指出了招差公式中各项系数恰好依次是各三角垛的“积”，这在中算史及世界数学史上都具有创造性意义。另外卷中之九最后一题用到方程的常数项有二十位数字，卷下之七最后一题是三元联立方程，消去一元后得到共有二十七项的10次方程，再消去一元得15次方程。显见朱世杰解多元高次方程技巧十分娴熟。卷中之六“或问歌彖”载有十二个歌谣体算题，可谓我国此类算题的始祖。清代以来，对《四元玉鉴》进行了较广泛的研究。李锐1816年注释了茭草形段问题的解法；徐有壬撰《四元算式》一卷(1822)；戴煦1820年演细草若干卷；沈钦裴于1829年完成六册稿本的《四元玉鉴细草》，未刻，原稿本现藏北京图书馆；罗士琳1834年撰成《四元玉鉴细草》二十四卷；李善兰《垛积比类》四卷(1867)；当代中算史家李俨《中国数学大纲》、钱宝琮《垛积术广义》、严敦杰《中学数学课程中的中算史材料》、杜石然《朱世杰研究》对朱世杰的四元术、招差术、垛积术进行深入的探讨和研究，作出了应用的评价。《四元玉鉴》原刊本已佚，四库开馆未得此书，后阮元得抄本进呈清四库馆，并抄副本，又嘱何元锡刻版传世；丁取忠编《白芙堂算学丛书》共收算书二十三种，录《四元玉鉴》，先后有八种刻本。