增修欧氏几何
五卷，附四卷。清曹汝英(生卒年不详)撰。曹汝英，字粲三，广东番禺(今番禹)人。著有《直方大斋数学上编》十四卷(1903)，《直方大斋数学上编附卷》二卷(1904)，《直方大斋数学中编》四卷(1907)，《算学杂识》十卷(1898)，《普通数学教科书》六册(1906)。《增修欧氏几何》为介绍西方几何学的普及读物，此书五卷即欧几里得《几何原本》前五卷内容。在卷一的开头有一段文字，似为全书前言，曹汝英谈及增修之目的：“欧氏之书，既论各种之形兼言数理，则一切度皆赅无矣。然欧氏所论数理，词旨幽深，非初学者所当务急。故泰西学生之习欧几里得者，止习前六卷〔第五卷亦有不习者〕及第十一卷而已。其余各卷所论者姑舍，是又因书中间有奥晦之词，且不能容括今日新理，故又增修之，以期利便初学，意至善也。今不揣简陋，师其法，以辑引编，题曰《增修欧氏几何》。”在书中，曹汝英增加了大量“原书未有之题”，同时还对其作必要的删节。对于原书的“界说”、“公论”均作了改动。如直线界说：“诸点所引之方向处处相同，则所成之线为直线”；平面界说：“面内任取两点，若以两点为界之直线恒贴面上，则此面为平面。”徐光启、利玛窦的译本的平面界说为：“平面二面平在界之内”，显然不及曹汝英的界说通俗易懂。还有曹汝英的圆的界说：“圆为平面形，以一线为界，自界到圆之中处作直线俱等。”圆径与半径界说：“过圆心作直线两端抵周者为圆径，自圆心至圆周之直线为半径。”平行线界说：“两直线同在平面内将两端引长至无穷不相离亦不相遇为平行线”。从以上所引卷一的部分界说可知曹汝英为了利便初学，对原界说作了较大的改动，增加了不少解释性的语言。在徐、利译本中有“公论”十九条，而曹汝英本只有公理十二条，他说：“据徐译本，本应有公理十九条，唯后七条近日西国几何教科书皆删去不读，故此编亦止列十二条。”对徐、利译本的文字叙述加以改动，变为用符号和文字相结合的方式叙述。《增修欧氏几何》中引用的符号有：“=”，“∥”、“L”(直角)、“∠”(角)、“⊥”(加)、“”(减)、“”(平行四边形)……，但字母未引用，仍以甲、乙、丙、……子、丑……代替。另一重大改动是将书中原来的题目分为：“一为求作之题，名曰法题；一为求证之题，名曰理题”，“然无论何种题，皆同一体裁，知其体裁，则作几何题时自不忙乱。”曹汝英对原书的增修主要是在附卷中，他所增之题，虽然绝大多数为西方初等几何书中所有者，但对中国人却是新颖的内容。如附卷一第一款“反求法”(即逆推法)：“若将题目所求之事权作已知，反推题目所设之事，或推前之所学有何义理，与所设之事相关，则名曰反求。当反求时或须征引旧题或须作图，必谨记之。俟推得所设之事，或推得相关之理，乃反其次序，而顺列之，即得正求之法。”曹汝英认为：“反求法虽不能谓之定法，然法题往往可用此法求之，亦聊胜于无法也。”并列举理、法各一题说明反求法的应用。当代中算史家李迪认为：“这是首次在中国的数学文献上见到的有关逆推法的详细文字记载。”在附卷三第十题是“西姆松线”：“圆内有切界三边形，若于圆界上任取一点作垂线与三边正交，或与三边引长正交，则三垂线之端必同居一直线内。”在证完此题后曹汝英加注：“上圆戊庚线，西人称为子点至甲乙丙形之鲜氏线，此题乃鲜姆逊所立，因以其名名此线也。”附卷四第五题是著名的“九点圆”问题：“三角形从三角至对边各作垂线相交于正心点，次将正心点至三角之线各两平分之，则所分三点及三垂线之端并原三角形各边中点必同居一圆之界。”在附卷一第九款和附卷三第五款专门讨论轨迹问题，在说明轨迹内容的基础上曹汝英给出了轨迹定义：“无论直线曲线，若线内诸点恒与所设情节相符，而线外之点皆不相符者，购此线名‘点之公界线’。”“求公界线之题，大率分(甲)(乙)两级作之”，先按条件作出“公界线何在”，再证“公界线内无论何点皆与所设情节相符”。以上所引用诸项，均系首次见于中文文献。值得注意的是，在卷五第三定义后曹汝英解释了“几何”，他认为：“几何二字有两解，其一即若干之谓，此人人知者；其一乃任何度之谓，此则稍不易明者”。对著名的第五公设他认为：“此条公理，后人皆以为非极浅显，益尚有更浅之法可证其必相遇也。故学者暂可不相会之”。实际上这是独立不可证明的，欧氏几何正是以这条公理为特征。亦可知曹汝英尚不知非欧几何已经出现。对《增修欧氏几何》作出深入研究的是当代中算史家李迪的《曹汝英〈增修欧氏几何〉初论》(载《数学史研究文集第四辑》)。李迪认为：“《增修欧氏几何》一书，尽管内容是很浅显的初等平面几何学，可是却包括了不少对当时中国来说是很新颖的问题和思想，在《几何原本》研究史上应适当提及。总的来看，曹汝英的工作还是有意义的，值得肯定。”《增修欧氏几何》的版本有清刻朱印本六册本。