杨辉算法
宋杨辉(详见《详解九章算术》)撰。《杨辉算法》为杨辉后期三部算书的总称，其包括《乘除通变本末》三卷(1274)，《田亩比类乘除捷法》二卷(1275)，《续古摘奇算法》二卷(1275)。对这三部书的编著杨辉说：“学者粗知加减归倍之法，而不知变通之问，遂易代乘代除之术，增续新条，目之曰《乘除通变本末》。及见中山刘先生益撰《议古根源》，演段锁积，有超古入神之妙，其可不为发扬，以俾后学，遂集为《田亩简法》。通前共刊四集，自谓斯愿满矣。一日忽有刘碧涧、丘虚谷携诸家算法奇题及旧刊遗忘之文，求成为集，愿助工板刊行。遂添摭诸家奇题与夫缮本及可以续古法草总为一集，目之曰《续古摘奇算法》”。《乘除通变本末》三卷各有名称：上卷《算法通变本末》专讲乘除；中卷《乘除通变算宝》论加减、求一、九归诸术；下卷《法算取用本末》乃中卷的注释。在《算法通变本末》卷首列“习算纲目”，为我国迄今所见的最早的数学教学计划。在此杨辉主张数学教育要“须责实有”，密切联系实际；在教学方法上应循序渐进，他具体规定了学习内容与日程，认为先学会运算，再钻研算理，他说：“依法求日下两三问，且未要穷理，但要知如何发问，作如何用法，答题如何用乘除。”在学习方法上要精思熟虑，融会贯通，抓住重点。他说：“治分乃用算之喉襟也，如不学则不足以知算。”“须讨论用法之源，庶久而无忘矣。”在学习过程中他强调计算能力的培养：“夫学算者题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题。”“习算纲目”至今对数学教育仍有一定的意义。《算法通变本末》中杨辉还提到几个级数求和问题，有三角垛两问，四隅垛一问，其公式与《详解九章算法》卷六之公式相同。在《乘除通变算宝》中杨辉系统叙述了唐宋相传的“加法”、“减法”与求一代乘除说。他给出了加法代乘的“加法五术”、“加一位”，乘数十位是1的用之；而乘数百位、十位都是1的用“加二位”；乘数可分为两个十位为1的因数可用“重加”；若乘数百位为1、十位为0者用“隔位加”；乘数十位为2或百位为2的用“连身加”。还有“减法四术”，即减法代除：减一位，减二位，重减，隔位减。若乘除首位不是1时，可加倍或折半，使首位变成1后再行计算，这就是“求一乘”，“求一除”，其歌诀为：“五六七八九，倍之数不走，二三须当半，遇四两折扭。倍折本从法，实即反其有，用加以代乘，斯数足可守。”对于不同位数的乘数、被乘数，杨辉总结出不同的计算方法共六种：单因、重因、身前因、相乘、重乘、损乘，这些捷法的要点在于化多位数相乘为一位数连乘，化乘法为加减法，籍以提高计算效率。对于除法简便运算，杨辉叙述了“九归捷法”，在当时流行的四句“古括”的基础上，他添注三十二句新口诀，将九归歌诀精简为三类。在此基础上逐步发展成为珠算中的归除法。《田亩比类乘除捷法》上卷为《详解九章算法》方田章的继续，但所据各田的比类并无重复，不为《九章》框框所限，举例更加切合实际；下卷主要是对《五曹算经》的批评，认为该书中有些题目法草公式不合，题问概念不清，“方五斜七”施诸田亩有失精确等，首开对前辈算家的批判之风，后明代王文素、程大位等算家亦行效仿。在《田亩比类乘除捷法》中杨辉还引用刘益《议古根源》中的不少问题，计有直田十问，方田圆田一问，重修议古截田八问，钱田三问；同时还引用他所掌握的台州、黄岩围量田之实例，保存了宋代的数学史料。《续古摘奇算法》卷上论纵横图，古法有“九宫”，唐后称“洛书”，杨辉始创“纵横图”，即幻方。卷上作纵横图十三幅，其中有：洛书数，花十六图，花十六阴图，五五图，五五阴图，六六图，六六阴图，衍数图，衍数阴图，易数图，易数阴图，九九图，百子图。此外还录有聚五图，聚六图，联八图，攒九图，八阵图，连环图，为纵横图衍化发展而得。杨辉还略述了某些纵横图的构造方法，如洛书造法，四四阴图的易换术等，发现并概括了纵横图的构成规律，是幻方史研究的珍贵资料。该书卷下说《海岛》，有一定价值。《续古摘奇算法》乃杨辉编辑成书，非精心自著，故内容芜杂。体例不一，卷上将六十甲子纳音的计算作为数学而收入，显得不伦不类，《杨辉算法》对后世颇有影响，并流传到日本、朝鲜。其价值在于总结发展了唐宋间的各类捷算法，提供了数学教育的史料，保存了一批宋朝数学史料。《杨辉算法》版本有明洪武十一年(1378)古杭勤德书堂刊本，现存北京图书馆的是朝鲜李朝世宗十五年(1433)的复刻洪武本；1842年《宜稼堂丛书》本；1936－1939年商务印书馆《丛书集成初编》本。