测圆海镜
十二卷。元李冶(1192－1279)撰。李冶，原名李治，字仁卿，号敬斋，真定栾城(今河北栾城县)人。李遹次子。少时于元氏(今河北元氏县)求学。金正大七年(1230)词赋进士，任钧州(今河南禹县)知事。钧州为蒙古军所破后他微服北渡，隐居于崞山桐川(今山西崞县)，于1248年著《测圆海镜》十二卷。1251年回元氏封龙山隐居讲学，1261年李冶以老病辞忽必烈诏聘，1256年被召为翰林学士，一年后辞官回封龙山。著有《益古演段》三卷、《泛说》四十卷、《文集》四十卷、《壁书丛削》十二卷(后三种已失传)。《测圆海镜》十二卷共一百七十问，所讨论的问题均为已知直角三角形三边上各个线段而求其内切圆、傍切圆直径之类的问题，其章目为卷一“总率名号”、“识别杂记”六百九二条；卷二“正率”十四问；卷三“边股”十七问；卷四“底勾”十七问；卷五“大股”十八问；卷六“大勾”十八问；卷七“明”前十八问；卷八“明”后十六问；卷九“大斜”四问，“大和”八问；卷十“三事和”八问；卷十一“杂糅”十八问；卷十二“之分”十四问。李冶自序云：“余自幼喜算术，恒病夫考圆之术，例出于牵强，殊乖于自然，……老大以米，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而响之病我者，使爆然落去，而无遗余。山中多暇，客有从余求其说者，于是乎又为衍之，遂累一百七十问”。显见该书衍“洞渊九容”之说而成。“洞渊”为何已不可考。《测圆海镜》卷一之首列“圆城图式”一张，该图分勾股形天地乾为十四个相似的勾股形，除两个相等之外，与原勾股合为十三率，并给出了各勾股形的名称。李冶于卷二之首写道：“假令有圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道，其西北十字道头定为乾地；其东北十字道头定为艮地；其东南十字道头定为巽地；其西南十字道头定为坤地；所有测望杂法，一一设问如后。”这是全书一百七十问的总图，凡建立天元式所用定理均可在此图得到几何解释。为了叙述图式中复杂的几何关系，李冶先立名号，即给出了定义，如“内率，明勾股相得”，“次差，明二差共”等等。然后列出了图中各线段之间以及各线段的和、差、乘积等等之间相互关系六百九十二条，内分：诸杂名目、五和五较、诸弦、大小差、诸差、诸率互见、四位相套等七个项目，各项目内容深浅不一，在演算过程中作用亦有差别。其中每一条都相当于一个几何定理，例如“诸杂名目”中最后十条是全书的基本公式，多数题目演算与之有关。李冶汇总这些条文列全书之首，名曰“识别杂记”，后人对此多有研究，清李锐认为：“杂记数百条，乃是全书之纲领，非此不能立算”。而当代中算史家梅荣照则认为这是“作者在研究‘洞渊九容’与演算《测圆海镜》的题目过程中，随时记录所应用的结论，后稍经整理而成的”。(《宋元数学史论文集》)不应过分夸大其作用。经后人校算证明，这六百九十二条“杂记”误谬者仅八条。在卷二第一－十题作者给出十种容圆，亦即求三角形天乾地的内切圆直径的十个公式：勾股容圆(内切于大勾股形)、勾上容圆(圆心在勾上且切于弦和股)、股上容圆(圆心在股上且切于弦和勾)、弦上容圆(圆心在弦上且切于勾和股)、勾股上容圆(圆心在勾股交点且切于弦)、勾外容圆(切于勾与弦、股的延长线)、股外容圆(切于股与弦、勾的延长线)、弦外容圆(切于弦与勾、股的延长线)、勾外容圆半(心在股的延长线且切于勾、弦的延长线)、股外容圆半(心在勾的延长线且切于股、弦的延长线)。上述十种除勾股容圆已见于《九章》，余者称“洞渊九容之术”，是为全书的基础。《测圆海镜》的主要价值，即李冶的主要目的是利用天元术来列出方程。在金元时期河北、山西一带已产生天元术，尚不完善，其表示法及天元式造法、运算尚不统一。李冶在此书中对天元术进行了总结和发展。在天元式表示法上，他取消了用地元表示负数次幂，只用一个天元，并采用“天在太上”的排列顺序(后在《益古演段》中他又将其颠倒过来)。对于天元式的加减乘除运算，李冶给出了完整的方法；在造天元式时，他灵活选择天元一所表示的数，以便简化演算过程，并采用求出半径幂的天元多项式方法，比较简便易行。李冶对自己的工作十分自信：“测圆海镜一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者。”从明到清天元术几经失传，直至梅珏成悟得西洋借根方即立天元一时，天元术方又得光大。《测圆海镜》是为金元天元术的代表作流传至今，在此基础上发展到四元术构成了我国独步天下的代数学，可知该书在世界数学史上地位。明清以来，为该书释术演草作图者甚众，主要著作有：明顾应祥《测圆海镜释术》十卷(1550)，《测圆算术》四卷(1553)；1797年清李锐校订后刻入《知不足斋丛书》；李善兰《测圆海镜图表》一卷、《测圆海镜解》一卷；张楚钟《测圆海镜识别详解》一卷(1873)；李镠《测圆海镜法笔》二卷(1879)；王鉴《海镜窥豹》一卷(1894)；刘岳云《测圆海镜通释》四卷(1896)；王泽沛《测圆海镜细草通释》十二卷(1898)；叶耀光《测圆海镜图解》二卷(1898)；杨兆鋆《九容演代》一卷(1898)。当代中算史家较有影响的成果有：李俨《测圆海镜研究历程考》(载《中算史论丛》第四集)；梅荣照《李冶及其数学著作》(载《宋元数学史论文集》)。《测圆海镜》主要版本有：《四库》本；1876年同文馆集珍版本；《古今算学丛书》本。