积求勾股法
一卷。清爱新觉罗·玄烨(1654－1722)撰。玄烨即康熙皇帝，在位六十一年(1662－1722)。康熙三年(1664)朝中发生了一件中西历法之争，对年幼的玄烨影响很大，他说：“朕幼时，钦天监汉官与西洋人不睦，互相参劾，几至大辟。杨光先、汤若望于午门外九卿前当面睹测日影。奈九卿中无一知其法者。朕思，己不知焉能断人之是非，因自愤而学焉!”于是玄烨开始学习西方数学，法国传教士白晋(1656－1730)、张诚(1654－1707)入宫为他讲授欧氏几何学或理学、天文学，康熙帝成为我国历史上最有数学素养的封建皇帝，并主持编写了大型历算书《律历渊源》。玄烨自己也写有《三角形论》及《积求勾股法》。据当代学者李培业考证，《积求勾股法》当完成于1713年之前。此书单独成篇，装订在清数学家陈厚耀(1648－1722)《勾股图解》之前。全篇十二页，计3300字，系原稿誊正本。《积求勾股法》专论求解正勾股(即与“勾三、股四、弦五”勾股形成比例的整勾股形)问题。全书内容分为三部分：首先列出勾股和较诸定率十八项；然后给出两条用法：(1)“以今所设之数为实，取定率内与所设数同名之率为法，法除实得数，以勾率乘之得勾，以股率乘之得股，以弦率乘之得弦。”(2)“若所设者为积数，以积率六除之，平方开之，得数。再以勾、股、弦各率乘之，即得勾、股、弦之数。”最后举出二十三个问题解答，以明此法之用。其体例依题、草、解次序列之。比如：“有弦实一百尺，求股。置弦实一百尺，以股实率十六乘之，得一千六百尺，又以弦实率二十五除之，得六十四尺，平方开之，得股八尺。解曰：弦实内兼有勾、股两实，而股应得二十五分之十六，勾应得二十五分之九，今欲求股，故以股率乘之，弦实除之而得股实，故开方得股也。”其二十三个问题可分为五类：1．已知正勾股和较十三事之一，求勾股；2．已知正勾股的勾或股，求内容圆径；3．已知勾实、股实、弦实之一，或其两者三者之和，求勾、股；4．已知正勾股积，求勾、股；5．已知正勾股内容圆径，求勾、股。这些问题的解法保留有中算特色。不同于《数理精蕴》中同类问题的解法。从上述之例解法可以看出，《积求勾股法》颇类《九章》粟米之法的今有术，而《数理精蕴》下编卷十三“正勾股比例”内容与《积求勾股法》相当，但其所用方法为西洋数学中的四率比例法与面积比例法，显然代表了中西算法迥异的风格。对此种中算风格方法，陈厚耀大加赞赏：“谨案隶首作《九算》而终之以勾股，非后之也。以其理甚精微，算之不易。其为术也，必先知二数，方可相求。又多用开方。一遇和较，非带纵减纵诸法不能御。取数繁重，学者畏之。今用定率法，以乘除代开方。又得一数，即知其他。其神妙简易，直古今所未发，中西所未有也。《周髀算经》但言勾三、股四、弦五，于兹益信。”这个评价是有一定道理的。《积求勾股法》经过修改后收入《数理精蕴》之内。当代学者李培业对该书作了深入的研究，其结果为《论康熙数学著作〈积求勾股法〉》(载《数学史研究文集第四辑》)。《积求勾股法》版本有《陈厚耀算书》本，现藏李倍业处。